Média De Transformação De Z

Introdução à filtragem 9.3.1 Introdução à filtragem No campo do processamento de sinais, o design de filtros de sinais digitais envolve o processo de supressão de certas frequências e impulsionar outras. Um modelo de filtro simplificado é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A implementação de (9-23) é direta e requer apenas valores iniciais e, em seguida, é obtida por iteração simples. Como os sinais devem ter um ponto de partida, é comum exigir isso e para. Enfatizamos esse conceito fazendo a seguinte definição. Definição 9.3 (Sequência Causal) Dada a sequência de entrada e saída. Se e para, a sequência é dita causal. Dada a sequência causal, é fácil calcular a solução para (9-23). Use o fato de que essas seqüências são causais: o passo iterativo geral é 9.3.2 Os Filtros Básicos Os seguintes três filtros básicos simplificados servem como ilustrações. (I) Zeroing Out Filter, (note que). (Ii) Boosting Up Filter, (note que). (Iii) Filtro combinado. A função de transferência para esses filtros modelo possui a seguinte forma geral onde as transformações z das seqüências de entrada e saída são e, respectivamente. Na seção anterior, mencionamos que a solução geral para uma equação de diferença homogênea é estável somente se os zeros da equação característica estiverem dentro do círculo da unidade. Da mesma forma, se um filtro é estável, os pólos da função de transferência devem estar todos dentro do círculo da unidade. Antes de desenvolver a teoria geral, gostaríamos de investigar a resposta de amplitude quando o sinal de entrada é uma combinação linear de e. A resposta de amplitude para a freqüência usa o sinal da unidade complexa, e é definida como sendo A fórmula para será explicada rigorosamente após alguns exemplos introdutórios. Exemplo 9.21. Dado o filtro. 9.21 (a). Mostre que é um filtro de zeramento para os sinais e calcula a resposta de amplitude. 9.21 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. 9.21 (c). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.4. A resposta de amplitude para. Figura 9.5. A entrada e saída. Figura 9.6. A entrada e saída. Explore a Solução 9.21. Exemplo 9.22. Dado o filtro. 9.22 (a). Mostre que é um filtro de aumento para os sinais e calcula a resposta de amplitude. 9.22 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.7. A resposta de amplitude para. Figura 9.8. A entrada e saída. Explore a Solução 9.22. 9.3.3 A Equação de Filtro Geral A forma geral de uma equação de diferença de filtro de ordem é onde e são constantes. Observe cuidadosamente que os termos envolvidos são da forma e onde e, o que torna esses termos atrasados. A forma compacta de escrever a equação de diferença é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A porção irá libertar sinais e impulsionar os sinais. Observação 9.14. Fórmula (9-31) é chamada de equação de recursão e os coeficientes de recursão são e. Ele mostra explicitamente que a saída atual é uma função dos valores passados, para, a entrada atual e as entradas anteriores para. As seqüências podem ser consideradas como sinais e são zero para índices negativos. Com esta informação, podemos agora definir a fórmula geral para a função de transferência. Usando a propriedade de tempo retardado para seqüelas causais e tomando a transformada z de cada termo em (9-31). Obtemos Podemos avaliar as somações e escrever isso de forma equivalente. Da equação (9-33) obtemos o que leva à seguinte definição importante. Definição 9.4 (Função de transferência) A função de transferência correspondente à equação de diferença de ordem (8) é dada pela Fórmula (9-34) é a função de transferência para um filtro de resposta de impulso infinito (filtro IIR). No caso especial em que o denominador é unidade, torna-se a função de transferência para um filtro de resposta de impulso finito (filtro FIR). Definição 9.5 (Resposta da amostra unitária) A sequência correspondente à função de transferência é chamada de resposta da amostra unitária. Teorema 9.6 (Resposta de saída) A resposta de saída de um filtro (10) dado um sinal de entrada é dada pela transformação inversa z e na forma de convolução é dada por Outro uso importante da função de transferência é estudar como um filtro afeta Várias frequências. Na prática, um sinal de tempo contínuo é amostrado em uma freqüência que é pelo menos duas vezes a maior freqüência do sinal de entrada para evitar a frequência dobrável ou aliasing. Isso ocorre porque a transformada de Fourier de um sinal amostrado é periódica com o período, embora não vamos provar isso aqui. Aliasing evita a recuperação precisa do sinal original de suas amostras. Agora, pode-se mostrar que o argumento da transformada de Fourier se mapeia no círculo da unidade do plano z pela fórmula (9-37), onde é chamada de freqüência normalizada. Portanto, a transformada z avaliada no círculo da unidade também é periódica, exceto com o período. Definição 9.6 (Resposta de amplitude) A resposta de amplitude é definida como a magnitude da função de transferência avaliada no sinal da unidade complexa. A fórmula é (9-38) ao longo do intervalo. O teorema fundamental da álgebra implica que o numerador tem raízes (chamado zeros) e o denominador tem raízes (chamados de pólos). Os zeros podem ser escolhidos em pares conjugados no círculo da unidade e para. Para a estabilidade, todos os pólos devem dentro do círculo da unidade e para. Além disso, os pólos são escolhidos para serem números reais e em pares conjugados. Isso garantirá que os coeficientes de recursão sejam todos números reais. Os filtros IIR podem ser todos pólo ou pólo zero e a estabilidade é uma preocupação com os filtros FIR e todos os filtros zero são sempre estáveis. 9.3.4 Design de filtros Na prática, a fórmula de recursão (10) é usada para calcular o sinal de saída. No entanto, o design do filtro digital é baseado na teoria acima. Começa selecionando a localização de zeros e pólos correspondentes aos requisitos de design do filtro e construindo a função de transferência. Como os coeficientes são reais, todos os zeros e pólos com um componente imaginário devem ocorrer em pares conjugados. Em seguida, os coeficientes de recursão são identificados em (13) e utilizados em (10) para escrever o filtro recursivo. Tanto o numerador quanto o denominador podem ser dados em fatores quadráticos com coeficientes reais e possivelmente um ou dois fatores lineares com coeficientes reais. Os princípios a seguir são usados ​​para construir. (I) Fatores de redução de zero Para filtrar os sinais e, use fatores da forma no numerador de. Contribuirão para o termo (ii) Fatores de Aumento para Amplificar os sinais e, use fatores da forma-transformada-Z. A transformada Z e a transformada Z avançada foram introduzidas (sob o nome da transformação Z) pelo Júri EI em 1958 em Sistemas de controle de dados amostrados (John Wiley amp Sons). A idéia contida na transformada Z já era conhecida como o método da função geradora. A transformada em Z é um nome de espaço reservado, semelhante ao chamar a transformada de Laplace a s-transform. Mais preciso seria Laurent transformar, porque é baseado na série Laurent. A transformada Z (unilateral) é para sinais discretos de domínio do tempo o que a transformação unilateral de Laplace é para sinais de domínio do tempo contínuo. Definição A transformada em Z, como muitas outras transformações integrais, pode ser definida como uma transformação de um lado ou de dois lados. Transformação Z bilateral A transformada Z bilateral ou dupla face de um sinal de tempo discreto xn é a função X (z) definida como onde n é um número inteiro e z é, em geral, um número complexo. Transformada Z unilateral Alternativamente, nos casos em que x n é definido apenas para n 8805 0, a transformada Z unilateral ou unilateral é definida como Processamento de sinal In. Esta definição é usada quando o sinal é causal. Um exemplo importante da transformada Z unilateral é a função geradora de probabilidade. Onde o componente xn é a probabilidade de uma variável aleatória discreta ter o valor n. E a função X (z) geralmente é escrita como X (s). Em termos de s z 87221. As propriedades das transformações em Z (abaixo) possuem interpretações úteis no contexto da teoria da probabilidade. Transformada Z inversa A Transformada Z inversa é um caso especial desta integral de contorno que é simplesmente que onde o círculo da unidade (e pode ser usado quando o ROC inclui o círculo da unidade) é a transformada de Fourier discreta inversa. . A transformada Z com uma gama finita de n e um número finito de valores z uniformemente espaçados pode ser calculada eficientemente através do algoritmo FFT Bluesteins. A transformada discreta de Fourier (DFT) é um caso especial de tal transformada Z obtida ao restringir z para se alinha no círculo da unidade. Região de convergência A região de convergência (ROC) é onde a transformada Z de um sinal tem uma soma finita para uma região no plano complexo. Exemplo 1 (Não ROC) Olhando para a soma Exemplo 2 (ROC causal) Olhando para a soma Exemplo 3 (ROC anticausal) Olhando para a soma Conclusão de exemplos Os exemplos 2 amplificador 3 mostram claramente que a transformada Z é única quando e somente quando Especificando o ROC. A criação do argumento pólo-zero para o caso causal e anticausal mostra que o ROC para ambos os casos não inclui o pólo que está em 0.5. Isso se estende para casos com múltiplos pólos: o ROC nunca contará com pólos. A estabilidade de um sistema também pode ser determinada conhecendo o ROC sozinho. Se o ROC contiver o círculo da unidade (isto é), o sistema é estável. Nos sistemas acima, o sistema causal é estável porque contém o círculo da unidade. Se você precisar de estabilidade, o ROC deve conter o círculo da unidade. Se você precisa de um sistema causal, então o ROC deve conter o infinito. Se você precisar de um sistema anticausal, o ROC deve conter a origem. Propriedades Tabela de pares comuns de transformação de Z1 DHI (Índia) Ambiente de amplificação de água, Nova Deli, Índia 2 Departamento de Engenharia Civil, Instituto Indígena de Tecnologia Roorkee, Uttarakhand, Índia E-mail: rai. raveendragmail, cspojharediffmail Recebido em 17 de junho de 2009 revisado 16 de julho de 2009, aceito 27 de julho de 2009 Palavras-chave: IUH, processo ARMA, transformada em Z, modelo Nash, hidrografia de escoamento direto, bacia hidrográfica montanhosa O presente estudo enfatiza a aplicabilidade do conceito de teoria linear em bacias montanhosas. Para este efeito, a técnica de transformação de Z foi utilizada para derivar o hidrograma da unidade instantânea (IUH) da função de transferência da equação de diferença linear linear auto-regressiva e média móvel (ARMA). Os parâmetros do processo de precipitação-escoamento do tipo ARMA foram estimados pelo método de mínimos quadrados. A IUH derivada da transformada Z (i. e. ARMA-IUH) foi usada para calcular a resposta hidrológica, isto é, hidrograma de escoamento direto (DRH). Além disso, a superioridade da abordagem proposta foi testada comparando os resultados com os resultados obtidos da Nash-IUH. Analisando os resultados obtidos de ARMA-IUH e Nash-IUH para as duas bacias montanhosas do Himalaya Norte-Oeste mostra a aplicabilidade do conceito de teoria linear, mesmo em condições de fluxo turbulento que são freqüentemente encontradas em terrenos montanhosos em condições semelhantes de fluxo. O processo de precipitação-escoamento é não-linear e dinâmico com entradas e saídas espacialmente distribuídas. A resposta da bacia hidrográfica é inerentemente espacial, não-linear e variável de tempo. No entanto, os modelos lineares são freqüentemente utilizados para a análise da resposta da bacia hidrográfica às chuvas, pois são matematicamente mais fáceis de manipular do que os modelos não-lineares. Os modelos matemáticos input-output baseados na teoria linear dos sistemas hidrológicos tentam estabelecer uma ligação entre dois ou mais fenômenos observados sem descrição detalhada do processo físico sob investigação. No contexto hidrológico, a bacia é considerada como o sistema em que uma entrada de precipitação efetiva é transformada em uma saída de descarga na saída da bacia. Spolia e Chander 1 apresentaram uma forma discretamente coincidente do modelo em cascata igual ao reservatório 2. Um modelo de cascata linear discreta foi desenvolvido para hidrologia usando o conceito em cascata da equação de diferença de tipo Auto-Regressive Moving Average (ARMA) e derivou a resposta de impulso da unidade Funcionam como uma função de tempo discreto para uma família de modelos discretos paramétricos 34. Wang e Wu 5 mostraram que dados discretos de entrada poderiam ser representados por meio de funções de etapa de unidade. Wang et al. 6 desenvolveram um modelo de chuva-escoamento para pequenas bacias hidrográficas e um modelo de precipitação-escoamento discreto aplicado para calcular o hidrograma de uma bacia hidrográfica do excesso de chuva sob o conceito de sistema linear. Os terrenos montanhosos geralmente são encontrados em muitos países. O planejamento dos recursos hídricos é igualmente importante para essa bacia hidrográfica. Muitas vezes, muito pouca atenção foi dada a essas bacias hidrográficas devido à pouca disponibilidade de dados hidrológicos devido a terrenos inacessíveis. Neste trabalho, os dados de duas bacias montanhosas são submetidos a análise usando técnica de transformação em Z, com o objetivo de estudar o processo de precipitação-escoamento. Normalmente, o processo precipitação-escoamento é tratado como um sistema linear. No entanto, é perfeitamente desconhecido se essa linearidade também é válida para as bacias hidrográficas montanhosas. Assim, a intenção é analisar os dados e ver a aplicabilidade do uso do conceito de sistema linear na modelagem de precipitação-escoamento em terrenos montanhosos. Os terrenos montanhosos normalmente possuem maior rugosidade em comparação com as bacias hidrográficas do plano. Isso pode ser devido à natureza da superfície sobre a qual o fluxo terrestre pode ocorrer. Pedaços de pedregulhos, cascalho é freqüentemente encontrado nas regiões montanhosas. Além disso, florestas densas e esfregões podem aumentar a rugosidade. Assim, é igualmente importante testar o comportamento linear do sistema mesmo em condições de terrenos com uma rugosidade normalmente maior. Em terrenos montanhosos, devido a maior rugosidade e grandes velocidades de fluxo, o regime de fluxo é geralmente turbulento e a aplicabilidade do conceito de sistema linear em terrenos montanhosos continua inexplorada. Portanto, o presente estudo foi realizado com o objetivo de testar se o sistema se comporta de forma linear, mesmo em várias condições extremas e complexas de terrenos e natureza do fluxo. 2. Derivação da IUH Desde o início 7, a abordagem da hidrografia da unidade foi muito bem estabelecida como um conceito de teoria linear na hidrologia das águas superficiais e é continuamente utilizada pelos pesquisadores. Para uma forma mais generalizada, uma abordagem de hidrografia unitária instantânea (IUH) alcançou um impulso considerável 2.810. Além dos modelos conceituais 2,10, os pesquisadores investigaram uma ampla gama de metodologias para derivar IUH 11. Além disso, muitas técnicas de transformação (ou seja, séries harmônicas, transformada de Fourier, transformação de Laplace, etc.), tanto no domínio do tempo contínuo quanto em domínios discretos Foi utilizado com sucesso na derivação da IUH. O método de transformação Z constitui um dos métodos de transformação que podem ser aplicados para desenvolver as funções de resposta como uma função de tempo discreto das equações de diferença linear 1015. A técnica funciona sob a premissa de que o processo precipitação-escoamento se comporta como um sistema linear para o qual A transformada em Z do escoamento direto é igual ao produto da transformada Z da função de transferência e da precipitação efetiva. Eles usaram o polinômio de ordem superior para analisar o evento de tempestade única e derivar as ordenadas de hidrogramas da unidade por seleção de raiz do diagrama de Argand, que é um processo complicado e demorado. Portanto, no presente estudo foi apresentada a derivação analítica do hidrograma da unidade instantânea a partir das funções de transferência da equação de diferença de tipo ARMA usando a transformada Z (ARMA-IUH). O ARMA-IUH derivado é então utilizado para solicitar o cálculo de hidrogramas de escoamento direto. O desempenho relativo do método proposto foi testado comparando-o com o modelo Nash-IUH. Portanto, o procedimento para a derivação de ARMAIUH e Nash-IUH foi representado na seção a seguir. 2.1. Modelo ARMA-IUH (p, q) O fluxo de saída atual na saída da bacia hidrográfica geralmente deve depender de entradas (precipitação excessiva) e saídas (escoamento direto) de várias unidades de tempo de volta. Portanto, um processo de racionamento automático e médio móvel (ARMA) de excesso de precipitação direta pode ser usado para determinar a função de transferência das bacias hidrográficas. A média auto-regressiva e móvel do processo (p, q) (ARMA (p, q)) do excesso de chuva e o escoamento direto podem ser dados como 16: em que Q (t) é o escoamento direto em m 3 seg, I ( T) é a intensidade de precipitação excessiva em m 3 seg, e são os parâmetros invariantes de tempo discretos a serem estimados e p e q são a ordem dos processos de racionamento autorregressivo e móvel (ARMA), respectivamente. Para aplicações hidrológicas, os valores de p e q devem ser selecionados através da identificação do modelo e são geralmente inferiores a quatro 17. A Equação (1) também pode ser escrita usando o operador de mudança de retorno de modo que, como 17: Equação (2) pode ser expressa Na forma de função de transferência como: onde, H (t) é a função de transferência do processo ARMA (p, q) de excesso de precipitação - escoamento direto do sistema linear. 2.1.1. Definição de Z-Transform A transformada Z é um dos métodos de transformação aplicados à solução de equações de diferença linear. As equações de diferença são equações funcionais que definem sequências e são as contrapartidas discretas das equações diferenciais. Em muitos sistemas, as saídas são medidas em valores discretos de tempo, geralmente em nT, n 0, 1, 2,. Onde T é o número positivo fixo, geralmente referido como o período de amostragem (pode ser a unidade). Considere uma sequência 0, 1, 2, que pode ser pensada como resultante de uma forma de onda contínua amostrada nos tempos nT, n 0, 1, 2,. A transformação Z dessa seqüência é definida como 18: Aqui, no manuscrito, a derivação da IUH foi apresentada para os processos ARMA (2, 2) e ARMA (1, 1) usando técnica de transformação Z de acordo com as bacias hidrográficas consideradas para o estudo. 2.1.2. IUH de ARMA (1, 1) Processo ARMA-IUH (1, 1) A função de transferência de ARMA (1, 1) processo de precipitação-escoamento descrito pela Equação (3) pode ser escrito como: A transformada Z da Equação ( 5) é: Divisão da Equação (6) ao longo de Z dá: em que Q (Z) e I (Z) são as transformações Z de seqüências Q (t) e I (t) e H (Z) é o Z - transforma da função de transferência. A transformada Z inversa de H (Z) dá a função de resposta ao impulso da unidade como: Deve notar-se que para t 0, a função de resposta ao impulso da unidade será zero. Assim, substituindo (t-1) em lugar de t para t 1, 2,. N 1 no lado direito da Equação (8), a função de resposta ao impulso da unidade, h (t), da bacia hidrográfica pode ser escrita como: Na Equação (11), h (t) é a função de resposta de impulso unitário (ARMA - IUH) em tempo discreto t e dt -1 é a função delta Dirac que é definida como: 2.1.3. IUH de ARMA (2, 2) Processo ARMA-IUH (2, 2) O processo ARMA (2, 2) de precipitação-escoamento em sua forma de transferência descrita pela Equação (3) pode ser escrito como: A transformada Z de A equação (13) é: A equação (14) pode ser simplificada como: A equação (15) foi escrita depois da divisão por Z como: